Производная и исследование функции

Что такое производная

Производная функции $f(x)$ показывает скорость изменения функции: насколько быстро меняется $f(x)$ при изменении $x$. Обозначается $f'(x)$.

Если $f(x)$ — путь, пройденный к моменту времени $x$, то $f'(x)$ — это мгновенная скорость. Большая производная — функция растёт быстро; отрицательная — функция убывает.

Таблица производных

Для ОРТ достаточно знать три формулы:

| Функция | Производная | |---|---| | $c$ (константа) | $0$ | | $cx$ | $c$ | | $x^n$ | $n x^{n-1}$ |

Например: $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$, $(7x)' = 7$, $(5)' = 0$.

Правила дифференцирования

• Сумма и разность: $(f + g)' = f' + g'$ — дифференцируем каждое слагаемое отдельно.
• Постоянный множитель: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ — константа выносится.

Пример. $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$.

$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 6 + 0 = 6x^2 - 6$

Производная в точке

Чтобы найти $f'(x_0)$, сначала находим $f'(x)$, потом подставляем $x_0$.

Пример. $f(x) = x^3 - 4x$, найти $f'(2)$.

$f'(x) = 3x^2 - 4, \qquad f'(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8$

Касательная к графику

Угловой коэффициент касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x_0$ равен производной в этой точке:

$k = f'(x_0)$

Пример. Найдём угловой коэффициент касательной к графику $f(x) = x^2 + 2x$ в точке $x_0 = 1$: $f'(x) = 2x + 2$, значит $k = f'(1) = 4$.

Возрастание и убывание

Знак производной говорит о поведении функции:

• $f'(x) > 0$ на промежутке — функция возрастает;
• $f'(x) < 0$ на промежутке — функция убывает.

План действий: найти $f'(x)$, решить $f'(x) = 0$, расставить знаки производной на числовой прямой.

Точки экстремума

Экстремум — это точка максимума или минимума. В ней $f'(x_0) = 0$, и производная меняет знак:

• с $+$ на $-$ — точка максимума;
• с $-$ на $+$ — точка минимума.

Пример. $f(x) = x^3 - 3x$. Тогда $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, нули: $x = -1$ и $x = 1$.

Знаки производной: $+$ при $x < -1$, затем $-$ на $(-1;\ 1)$, затем $+$ при $x > 1$.

Значит, $x = -1$ — точка максимума (знак $+ \to -$), $x = 1$ — точка минимума (знак $- \to +$). Функция возрастает на $(-\infty;\ -1)$ и $(1;\ +\infty)$, убывает на $(-1;\ 1)$.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

На отрезке $[a;\ b]$ наибольшее и наименьшее значения достигаются либо в точках, где $f'(x) = 0$ (если они попали в отрезок), либо на концах отрезка. Алгоритм:

1. Найти $f'(x)$ и решить $f'(x) = 0$.
2. Отобрать корни, лежащие внутри $[a;\ b]$.
3. Вычислить $f$ в этих корнях и на концах $a$ и $b$.
4. Выбрать наибольшее (наименьшее) из полученных чисел.

Пример. $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[0;\ 2]$. Корни $f'(x) = 0$: из них в отрезке лежит только $x = 1$. Считаем: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(2) = 8 - 6 = 2$. Наибольшее значение $2$, наименьшее $-2$.

ОРТ-совет

В задачах на наибольшее/наименьшее значение не стройте график — это трата времени. Достаточно сравнить значения функции в критических точках внутри отрезка и на его концах: это три-четыре подстановки. А если спрашивают только угловой коэффициент касательной, помните: $k = f'(x_0)$, само уравнение касательной писать не нужно.