Уравнения повышенной сложности

Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня. Основной приём — возведение обеих частей в квадрат. Но у этого приёма есть цена: могут появиться посторонние корни, поэтому проверка подстановкой в исходное уравнение обязательна.

Пример. Решим уравнение $\sqrt{x+3} = x - 3$.

Возводим обе части в квадрат:

$x + 3 = x^2 - 6x + 9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 7x + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1, \; x = 6.$

Проверка (подставляем в исходное уравнение):

• $x = 1$: слева $\sqrt{1+3} = 2$, справа $1 - 3 = -2$. Не равны — корень посторонний.
• $x = 6$: слева $\sqrt{6+3} = 3$, справа $6 - 3 = 3$. Верно.

Ответ: $x = 6$. Посторонний корень появился потому, что при возведении в квадрат «стирается» знак: корень $\sqrt{\phantom{x}}$ всегда неотрицателен, а правая часть при $x = 1$ отрицательна.

Замена переменной: биквадратные уравнения

Уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ называется биквадратным. Замена $t = x^2$ (где $t \ge 0$) превращает его в обычное квадратное.

Пример. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Пусть $t = x^2$:

$t^2 - 5t + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1, \; t = 4.$

Возвращаемся к переменной $x$:

• $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$;
• $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Ответ: $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$ — четыре корня. Если бы получилось $t < 0$, эту ветку пришлось бы отбросить: квадрат числа отрицательным не бывает.

Показательные уравнения с заменой

Если в уравнении встречаются $4^x$ и $2^x$, замечаем, что $4^x = (2^x)^2$, и делаем замену $t = 2^x$. Важно: $t > 0$ всегда, отрицательные значения $t$ отбрасываем.

Пример. $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$.

Пусть $t = 2^x$, $t > 0$:

$t^2 - 3t + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1, \; t = 2.$

Обратная замена:

• $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$;
• $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.

Ответ: $x = 0$ и $x = 1$. Проверка: $4^0 - 3 \cdot 2^0 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$, $4^1 - 3 \cdot 2^1 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.

Дробно-рациональные уравнения и ОДЗ

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому решение начинаем с ОДЗ (области допустимых значений).

Пример. $\dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 0$.

ОДЗ: $x \ne 3$. Числитель: $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3, \; x = -2$. Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ — отбрасываем.

Ответ: $x = -2$.

Типичная ловушка ОРТ: все преобразования верны, но единственный найденный корень обращает знаменатель в ноль — тогда правильный ответ «корней нет».

ОРТ-совет

На ОРТ нет времени на длинные выкладки, поэтому действуйте так. Во-первых, в иррациональном уравнении до возведения в квадрат посмотрите на знак правой части: если $\sqrt{f(x)} = g(x)$, то годятся только те $x$, при которых $g(x) \ge 0$ — это мгновенно отсеивает посторонние корни. Во-вторых, после замены переменной всегда возвращайтесь к $x$: в вариантах ответов часто стоит значение $t$ — это ловушка. В-третьих, самая быстрая проверка — подстановка ответа в исходное уравнение: с целыми корнями она занимает несколько секунд и спасает от обидных ошибок.