Отношения и пропорции

Что такое отношение

Отношение двух величин — это частное от их деления. Отношение $a$ к $b$ записывают как $a : b$ или $\frac{a}{b}$. Оно показывает, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть одна величина составляет от другой.

Пример. В классе $12$ мальчиков и $18$ девочек. Отношение числа мальчиков к числу девочек:

$12 : 18 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} = 2 : 3$

Отношение можно сокращать, как обычную дробь. Важен порядок: $2:3$ и $3:2$ — разные отношения!

Величины в отношении должны быть в одинаковых единицах: отношение $30$ см к $1$ м — это $30 : 100 = 3 : 10$, а не $30 : 1$.

Пропорция и её основное свойство

Пропорция — это равенство двух отношений:

$a : b = c : d \qquad \text{или} \qquad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Числа $a$ и $d$ называются крайними членами, $b$ и $c$ — средними.

Основное свойство пропорции (правило «крест-накрест»): произведение крайних членов равно произведению средних:

$a \cdot d = b \cdot c$

Например, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ — верная пропорция, потому что $3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 36$.

Нахождение неизвестного члена

Из основного свойства любой член пропорции выражается через три остальных.

Пример. Найдите $x$, если $\frac{x}{15} = \frac{4}{5}$.

Перемножаем крест-накрест: $5x = 15 \cdot 4 = 60$, откуда $x = 12$.

ОРТ-совет. Не решайте уравнение «в лоб» — сразу пишите произведение крест-накрест. Это самый быстрый способ, а на ОРТ каждая секунда на счету. Проверка тоже мгновенная: $12 \cdot 5 = 15 \cdot 4 = 60$. ✓

Деление величины в данном отношении

Чтобы разделить величину в отношении $a : b : c$, находят одну часть: делят величину на сумму $a + b + c$, а затем умножают на $a$, $b$ и $c$.

Пример. Разделите $180$ сом между тремя друзьями в отношении $2 : 3 : 4$.

1. Всего частей: $2 + 3 + 4 = 9$.
2. Одна часть: $180 : 9 = 20$ сом.
3. Доли: $2 \cdot 20 = 40$, $\; 3 \cdot 20 = 60$, $\; 4 \cdot 20 = 80$ сом.

Проверка: $40 + 60 + 80 = 180$. ✓ Всегда проверяйте, что части в сумме дают исходную величину.

Прямая и обратная пропорциональность

Прямая пропорциональность: при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Пример — цена и количество: если $3$ кг яблок стоят $150$ сом, то $6$ кг (в $2$ раза больше) стоят $300$ сом (тоже в $2$ раза больше).

Обратная пропорциональность: при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Пример — скорость и время на одном и том же пути: если при скорости $60$ км/ч дорога занимает $4$ часа, то при скорости $80$ км/ч — уже

$t = \frac{60 \cdot 4}{80} = 3 \text{ часа.}$

Скорость выросла, время уменьшилось — произведение $v \cdot t = 240$ км осталось прежним.

ОРТ-совет. Сначала определите тип зависимости, задав вопрос: «одна величина растёт — вторая растёт или падает?» Если растёт — прямая пропорциональность (пропорция «по прямой»), если падает — обратная (пропорцию переворачиваем или используем постоянное произведение).

Масштаб карты

Масштаб — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб $1 : 100\,000$ означает: $1$ см на карте — это $100\,000$ см $= 1$ км на местности.

Пример. Масштаб карты $1 : 200\,000$. Расстояние на карте — $4{,}5$ см. Расстояние на местности:

$4{,}5 \cdot 200\,000 = 900\,000 \text{ см} = 9 \text{ км.}$

ОРТ-совет. Запомните переходы: $100\,000$ см $= 1$ км. Поэтому масштаб $1:N$ удобно сразу переводить: «$1$ см на карте $= \frac{N}{100\,000}$ км». Для $1:200\,000$ это $2$ км в $1$ см — и задача решается устно.