Задачи на проценты в формате ОРТ

Главный инструмент: коэффициент изменения

Почти любая задача ОРТ на проценты решается через коэффициент $k$:

• увеличение на $p\%$ — это умножение на $k = 1 + \dfrac{p}{100}$;
• уменьшение на $p\%$ — это умножение на $k = 1 - \dfrac{p}{100}$.

Например: $+20\%$ — это $\times 1{,}2$; скидка $30\%$ — это $\times 0{,}7$; подорожание на $7\%$ — это $\times 1{,}07$.

ОРТ-совет. Не считайте «сколько сомов составляют проценты» отдельным действием — сразу умножайте на коэффициент. Это вдвое быстрее и защищает от ошибок.

Скидки и наценки

Пример. Куртка стоила $4000$ сомов, магазин объявил скидку $15\%$. Новая цена:

$4000 \cdot 0{,}85 = 3400 \text{ сомов.}$

Двойная скидка. Скидки не складываются — коэффициенты перемножаются. Скидка $20\%$, а затем ещё $10\%$:

$k = 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72,$

то есть итоговая скидка $28\%$, а вовсе не $30\%$. Телефон за $25\,000$ сомов после таких двух скидок стоит $25\,000 \cdot 0{,}72 = 18\,000$ сомов.

ОРТ-совет. «Сложить проценты» — самая частая ловушка в вариантах ответов. Если видите среди ответов ровно сумму процентов — почти наверняка это дистрактор.

Изменение цены «туда-обратно»

Если цену подняли на $25\%$, а потом снизили на $25\%$, она не вернётся к исходной:

$k = 1{,}25 \cdot 0{,}75 = 0{,}9375,$

цена стала на $6{,}25\%$ ниже исходной. Причина: второй процент берётся уже от новой, большей базы.

Простой банковский вклад

При простых процентах банк каждый год начисляет один и тот же процент от первоначальной суммы:

$S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{n \cdot p}{100}\right),$

где $S_0$ — вклад, $p$ — годовая ставка, $n$ — число лет.

Пример. Вклад $50\,000$ сомов под $10\%$ годовых на $2$ года:

$50\,000 \cdot (1 + 0{,}2) = 60\,000 \text{ сомов.}$

Доля и часть от целого

Две стандартные постановки:

• найти часть: часть $=$ целое $\cdot \dfrac{p}{100}$;
• найти целое по части: целое $=$ часть $: \dfrac{p}{100}$.

Пример. Турист прошёл $30\%$ маршрута, что составило $12$ км. Весь маршрут:

$12 : 0{,}3 = 40 \text{ км.}$

«На сколько процентов больше/меньше»: база сравнения

Здесь важно, от чего считаются проценты — от того числа, с которым сравнивают (оно стоит после предлога «чем»):

• $A$ больше $B$ на $\dfrac{A-B}{B} \cdot 100\%$;
• $B$ меньше $A$ на $\dfrac{A-B}{A} \cdot 100\%$.

Пример. Билет в театр стоит $500$ сомов, в кино — $400$ сомов. Театр дороже кино на $\dfrac{100}{400} = 25\%$, но кино дешевле театра лишь на $\dfrac{100}{500} = 20\%$. Проценты разные, потому что разные базы!

Общее правило: если $A$ больше $B$ на $25\%$, то $B$ меньше $A$ на $20\%$ — «обратный» процент всегда меньше.

Смеси и растворы (базовый уровень)

Концентрация — доля чистого вещества в растворе:

$\text{концентрация} = \frac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\%.$

Ключевая идея: при добавлении воды масса соли не меняется — меняется только масса раствора.

Пример. К $200$ г $10\%$-го раствора соли добавили $50$ г воды. Соли было $200 \cdot 0{,}1 = 20$ г, раствора стало $250$ г. Новая концентрация:

$\frac{20}{250} \cdot 100\% = 8\%.$

ОРТ-совет. В любой многошаговой задаче на проценты выписывайте цепочку коэффициентов и перемножайте их: $S_0 \cdot k_1 \cdot k_2 \cdot \ldots$ Если исходная величина неизвестна, возьмите удобное число ($100$ или $1000$ сомов) — ответ «во сколько раз» или «на сколько процентов» от этого не изменится.