Задачи с новыми операциями

Что такое «новая операция»

Кроме привычных сложения, вычитания, умножения и деления, на ОРТ встречаются задачи, где вводится новая операция — придуманное действие со своим символом: $\oplus$, $\otimes$, $\star$, $\blacklozenge$ и т. п. Определение операции всегда даётся прямо в задании, например:

$a \star b = 2a + b$

Эта запись — просто инструкция: «возьми первое число, умножь на $2$ и прибавь второе». Ничего заучивать не нужно — вся информация уже в условии. Такие задачи проверяют не знание формул, а внимательность и умение аккуратно работать по правилу.

Алгоритм решения

1. Прочитайте определение и поймите, что делает операция с первым и вторым аргументом.
2. Подставьте числа строго по местам: то, что стоит слева от символа, идёт вместо $a$; то, что справа, — вместо $b$.
3. Вычислите обычными действиями арифметики.

Пример. Пусть $a \star b = 2a + b$. Найдём $4 \star 7$:

$4 \star 7 = 2 \cdot 4 + 7 = 8 + 7 = 15$

Здесь $a = 4$ (первое число), $b = 7$ (второе число).

Порядок аргументов — главная ловушка

В общем случае $a \star b \ne b \star a$! Для той же операции $a \star b = 2a + b$:

$7 \star 4 = 2 \cdot 7 + 4 = 18, \qquad 4 \star 7 = 15$

Результаты разные, потому что удвоение применяется именно к первому числу. Составители заданий рассчитывают на эту ошибку: среди ответов почти всегда есть значение «перепутанного» порядка. Поэтому перед подстановкой всегда отмечайте: какой аргумент первый, какой второй.

Коммутативность: когда порядок не важен

Операция называется коммутативной, если $a \star b = b \star a$ для любых $a$ и $b$. Это бывает, когда $a$ и $b$ входят в определение симметрично:

$a \oplus b = ab + a + b \quad \Rightarrow \quad b \oplus a = ba + b + a = a \oplus b$

Например, $3 \oplus 7 = 21 + 3 + 7 = 31$ и $7 \oplus 3 = 21 + 7 + 3 = 31$ — равны. А вот $a \star b = 2a + b$ несимметрична: коэффициенты у $a$ и $b$ разные, значит порядок важен. Быстрая проверка: мысленно поменяйте $a$ и $b$ местами в формуле — если формула не изменилась, операция коммутативна.

Вложенные операции

Операция может применяться несколько раз. Правило то же, что со скобками в обычной арифметике: сначала вычисляем внутреннюю операцию, затем внешнюю. Пусть $a \star b = 2a + b$. Найдём $2 \star (3 \star 1)$:

1. Внутренняя: $3 \star 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.
2. Внешняя: $2 \star 7 = 2 \cdot 2 + 7 = 11$.

Важно: расстановка скобок тоже влияет на результат. Для той же операции

$(2 \star 3) \star 1 = 7 \star 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 \ne 11$

То есть новая операция, как правило, ещё и неассоциативна — переставлять скобки нельзя.

ОРТ-совет

В заданиях на сравнение величин с новой операцией не спешите вычислять обе колонки «в лоб». Сначала посмотрите на определение: если операция симметрична по $a$ и $b$, а в колонках стоят $a \star b$ и $b \star a$, то величины равны без всяких вычислений. Если же формула несимметрична — подставляйте аккуратно, проговаривая про себя: «первое число — вместо $a$, второе — вместо $b$». А если в колонках есть буква (например, $x$) без ограничений на её значение, проверьте два-три разных числа: получились разные знаки сравнения — ответ «недостаточно информации».