Техника сравнения величин

Формат задачи на ОРТ

В Части I ОРТ даны две величины — в колонке А и в колонке Б. Нужно выбрать один из четырёх ответов: А больше, Б больше, величины равны, или информации недостаточно. На каждую задачу — около минуты, поэтому главный принцип: сравнивать, а не вычислять. Почти всегда есть приём, который даёт ответ без полного счёта.

Приём 1. Вычитание общего

Если в обеих колонках есть одинаковая часть — мысленно уберите её и сравните остатки.

Пример. А: $3456 + 789$; Б: $3457 + 788$. Не складываем! Сравним по частям: в Б первое слагаемое на $1$ больше, а второе на $1$ меньше. Разность $А - Б = -1 + 1 = 0$ — величины равны.

Приём 2. Деление на общий положительный множитель

Если обе величины положительны и содержат общий множитель — разделите на него обе колонки. Знак неравенства при делении на положительное число не меняется.

Пример. А: $2^{100} + 2^{99}$; Б: $2^{101}$. Делим обе колонки на $2^{99}$: А превращается в $2 + 1 = 3$, Б — в $2^2 = 4$. Значит, Б больше.

Приём 3. Сравнение с эталоном

Не сравнивайте величины между собой — сравните каждую с удобным «маяком»: $0$, $1$ или $\frac{1}{2}$.

Пример. А: $\frac{7}{15}$; Б: $\frac{9}{17}$. Половина от $15$ — это $7{,}5$, значит $\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$. Половина от $17$ — это $8{,}5$, значит $\frac{9}{17} > \frac{1}{2}$. Ответ: Б больше — и никакого общего знаменателя.

Полезный эталон для степеней: если $0 < x < 1$, то $x^2 < x$ (квадрат «уменьшает» число).

Приём 4. Приведение к общему виду

Если эталон не помогает, приведите величины к одинаковой форме: дроби — к общему знаменателю (или перемножьте крест-накрест), степени — к общему основанию или общему показателю.

Пример. А: $2^{30}$; Б: $3^{20}$. Общий показатель $10$: $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$, а $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. Так как $9 > 8$, Б больше — хотя показатель $30$ «выглядит» солиднее.

Приём 5. Возведение в квадрат

Корни удобно сравнивать через квадраты, но правило работает только для положительных величин: если $a > 0$ и $b > 0$, то $a > b \Leftrightarrow a^2 > b^2$.

Пример. А: $\sqrt{3} + \sqrt{5}$; Б: $\sqrt{2} + \sqrt{6}$. Обе величины положительны. Квадраты: $А^2 = 8 + 2\sqrt{15}$, $Б^2 = 8 + 2\sqrt{12}$. Так как $\sqrt{15} > \sqrt{12}$, А больше.

Для отрицательных чисел приём ломается: $-5 < 2$, но $(-5)^2 > 2^2$.

Приём 6. Прикидка порядков

Иногда достаточно грубой оценки: сколько цифр в числе, между какими «круглыми» значениями оно лежит.

Пример. А: $2^{10}$; Б: $10^3$. Стоит запомнить: $2^{10} = 1024 > 1000$. А больше. Факт $2^{10} \approx 10^3$ часто спасает в оценках степеней.

Когда выбирать «Недостаточно информации»

Если в колонках есть переменная, проверьте разные типы значений: большое число, число между $0$ и $1$, единицу, ноль, отрицательное (если условие их допускает).

Пример. А: $x^2$; Б: $x$, где $x > 0$. При $x = 2$: $4 > 2$, А больше. При $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, Б больше. Результат зависит от $x$ — недостаточно информации.

Но осторожно: наличие переменной само по себе ещё не значит «недостаточно». Например, при любом $x$ величины $x^2 + 1$ и $x^2$ сравниваются однозначно: А больше.

ОРТ-совет

Если ответ «величины равны» кажется очевидным с первого взгляда — проверьте дважды: составители любят делать колонки «почти равными». Классическая ловушка: $(3+4)^2$ и $3^2 + 4^2$ выглядят одинаково, но $49 \ne 25$ — квадрат суммы не равен сумме квадратов. И наоборот: то, что выглядит по-разному, может оказаться равным, как $\sqrt{50} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{32}$ (оба равны $4\sqrt{2}$). Потратьте 10 секунд на проверку приёмом — это дешевле, чем потерянный балл.