Квадратный корень

Что такое арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что $b^2 = a$. Обозначение: $\sqrt{a} = b$.

Например, $\sqrt{25} = 5$, потому что $5^2 = 25$ и $5 \geq 0$. Хотя $(-5)^2 = 25$ тоже верно, корнем считается только неотрицательное значение $5$.

Из-под знака корня нельзя извлекать значение, если число отрицательное: выражение $\sqrt{-9}$ не имеет смысла среди действительных чисел. Поэтому область определения корня — это $a \geq 0$.

Полезно помнить квадраты чисел от $1$ до $20$ наизусть: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, \ldots$ — это сильно ускоряет решение задач на ОРТ.

Важное тождество: $\sqrt{a^2} = |a|$

Частая ошибка — писать $\sqrt{a^2} = a$. Это неверно, если $a$ отрицательно! Правильная формула:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Пример. $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|$. Если бы мы написали $\sqrt{(-7)^2} = -7$, то получили бы отрицательное число, а корень всегда неотрицателен.

Свойства квадратного корня

При $a \geq 0$, $b \geq 0$ (и $b \ne 0$ в частном) выполняются равенства:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

ОРТ-совет. Классическая ловушка дистракторов: $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Например, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 = 7$. Корень суммы не равен сумме корней — складывать и вычитать под корнем нельзя, только умножать и делить.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если под корнем есть множитель, являющийся точным квадратом, его можно вынести наружу:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Пример. Упростите $\sqrt{72}$. Разложим: $72 = 36 \cdot 2$, где $36$ — точный квадрат. Тогда $\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Внесение множителя под знак корня

Обратное действие — внести коэффициент перед корнем под сам корень, возведя его в квадрат:

$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$

Пример. Внесите множитель под корень: $3\sqrt{7}$. Возводим $3$ в квадрат: $3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$.

Это действие особенно полезно при сравнении корней: чтобы сравнить $3\sqrt{7}$ и $5\sqrt{2}$, вносим оба множителя под корень и сравниваем подкоренные числа:

$3\sqrt{7} = \sqrt{63}, \qquad 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$

Так как $63 > 50$, то $\sqrt{63} > \sqrt{50}$, значит $3\sqrt{7} > 5\sqrt{2}$.

Сравнение и оценка корня между целыми числами

Чтобы понять, между какими целыми числами лежит корень (например, $\sqrt{40}$), нужно найти два соседних точных квадрата, между которыми стоит подкоренное число:

$36 < 40 < 49 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \quad\Rightarrow\quad 6 < \sqrt{40} < 7$

Значит, $\sqrt{40}$ — число между $6$ и $7$, ближе к $6$ (так как $40$ ближе к $36$, чем к $49$).

Пример. Между какими целыми числами лежит $\sqrt{85}$? Ближайшие точные квадраты: $81 = 9^2$ и $100 = 10^2$. Так как $81 < 85 < 100$, получаем $9 < \sqrt{85} < 10$.

ОРТ-совет

На экзамене корни часто нужно не вычислять, а сравнивать. Всегда действует правило: чем больше подкоренное число (при одинаковом основании корня и неотрицательных числах), тем больше сам корень. Приводите оба выражения к одному виду — либо оба под корень (внесение множителя), либо оба вынесите за скобку, — и сравнивайте то, что получилось внутри корня. Не забывайте про модуль в формуле $\sqrt{a^2} = |a|$ — это одна из самых частых ошибок на тестах.