Стандартный вид числа

Что такое стандартный вид числа

Стандартный вид числа (научная запись) — это запись числа в виде

$a \cdot 10^n,$

где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

Такая запись удобна для очень больших и очень маленьких чисел: вместо длинной цепочки нулей мы видим значащие цифры числа и степень, которая показывает его "масштаб".

Например: $5\,340\,000 = 5{,}34 \cdot 10^6$, а $0{,}0000723 = 7{,}23 \cdot 10^{-5}$.

Перевод большого числа в стандартный вид

Чтобы записать большое число в стандартном виде, нужно поставить запятую после первой значащей цифры и посчитать, на сколько разрядов она сдвинулась влево — это и будет показатель степени $n$ (положительный).

Пример. Запишите $47\,000\,000$ в стандартном виде.

1. Первая значащая цифра — $4$. Ставим запятую после неё: $4{,}7$.
2. Считаем сдвиг запятой: она сдвинулась на $7$ разрядов влево.
3. Получаем: $47\,000\,000 = 4{,}7 \cdot 10^7$.

Перевод малого числа в стандартный вид

Для чисел меньше $1$ запятая сдвигается вправо, поэтому показатель степени будет отрицательным.

Пример. Запишите $0{,}00058$ в стандартном виде.

1. Первая значащая (ненулевая) цифра — $5$. Ставим запятую после неё: $5{,}8$.
2. Считаем сдвиг: запятая сдвинулась на $4$ разряда вправо.
3. Получаем: $0{,}00058 = 5{,}8 \cdot 10^{-4}$.

Обратный переход делается так же, только в обратную сторону: степень $10^n$ показывает, куда и на сколько разрядов сдвинуть запятую. Например, $3{,}1 \cdot 10^5 = 310\,000$ (запятая сдвигается на $5$ разрядов вправо), а $3{,}1 \cdot 10^{-5} = 0{,}000031$ (на $5$ разрядов влево).

Умножение и деление чисел в стандартном виде

Мантиссы (числа $a$) перемножаются или делятся между собой, а степени $10^n$ — по правилам степеней: $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$.

Пример умножения. $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5) = (3 \cdot 2) \cdot 10^{4+5} = 6 \cdot 10^9$.

Если после умножения мантисс число выходит за пределы $[1; 10)$, его нужно снова нормализовать:

$(5 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^6) = 20 \cdot 10^9 = 2 \cdot 10^{10}.$

Пример деления. $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3) = 4 \cdot 10^{7-3} = 4 \cdot 10^4$.

Сравнение чисел в стандартном виде

Чтобы сравнить два числа в стандартном виде, сначала сравнивают показатели степени: чем больше $n$, тем больше число (при условии, что $1 \le a < 10$ в обоих случаях). Если показатели равны, сравнивают мантиссы.

Пример. Сравните $3{,}5 \cdot 10^8$ и $4{,}2 \cdot 10^7$.

Показатель степени у первого числа больше ($8 > 7$), значит $3{,}5 \cdot 10^8 > 4{,}2 \cdot 10^7$ — независимо от того, что мантисса $3{,}5$ меньше $4{,}2$.

Практические примеры

Стандартный вид часто встречается в задачах про население, размеры и другие большие или маленькие величины.

• Население Земли: около $8 \cdot 10^9$ человек.
• Население Кыргызстана: около $7 \cdot 10^6$ человек.
• Диаметр эритроцита (клетки крови): около $7 \cdot 10^{-6}$ м.
• Размер бактерии: около $2 \cdot 10^{-6}$ м.

Так, население Земли больше населения Кыргызстана в

$\frac{8 \cdot 10^9}{7 \cdot 10^6} \approx 1{,}14 \cdot 10^3 \approx 1143 \text{ раза}.$

ОРТ-совет. На экзамене часто дают "ловушку": число вроде $35 \cdot 10^5$ выглядит как стандартный вид, но это не так, потому что $35 > 10$. Правильная запись — $3{,}5 \cdot 10^6$. Всегда проверяйте, что мантисса лежит строго в промежутке от $1$ до $10$ (не включая $10$).

Также будьте внимательны при сравнении: если у чисел разные показатели степени, сразу смотрите на них, не тратя время на сравнение мантисс.