Параллелепипед и призма

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это тело, у которого все шесть граней являются прямоугольниками (простой пример — коробка или комната). Его форма задаётся тремя измерениями: длиной $a$, шириной $b$ и высотой $c$.

Объём — это произведение всех трёх измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Площадь поверхности — сумма площадей всех шести граней. Грани попарно равны (по две грани $a \times b$, $b \times c$, $a \times c$), поэтому:

$S = 2(ab + bc + ac)$

Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий противоположные вершины через внутренность тела. Она находится по формуле, похожей на теорему Пифагора, но для трёх измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Пример. Дан параллелепипед с измерениями $3$, $4$ и $12$ см. Найдём его диагональ:

$d^2 = 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169, \qquad d = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$

Такие «красивые» тройки чисел (например, $3,4,12,13$ или $1,4,8,9$) специально подбираются в задачах, чтобы диагональ извлекалась без калькулятора — на ОРТ его нет.

Куб — частный случай параллелепипеда

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны: $a = b = c$. Формулы упрощаются:

$V = a^3, \qquad S = 6a^2, \qquad d = a\sqrt{3}$

Пример. Ребро куба $a = 5$ см. Тогда $V = 5^3 = 125$ см³, а $S = 6 \cdot 25 = 150$ см².

Заметьте: диагональ куба $d = a\sqrt{3}$ почти всегда получается с корнем — в отличие от диагонали параллелепипеда, которая в задачах ОРТ обычно подобрана целой.

Прямая призма

Призма — это тело с двумя равными и параллельными основаниями (это может быть треугольник, четырёхугольник и т. д.) и боковыми гранями-параллелограммами. Если боковые рёбра перпендикулярны основанию, призма называется прямой.

Объём любой прямой призмы находится одинаково — через площадь основания $S_{\text{осн}}$ и высоту $h$:

$V = S_{\text{осн}} \cdot h$

Прямоугольный параллелепипед — это частный случай прямой призмы, у которой основание — прямоугольник.

Пример. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $9$ см и $12$ см, высота призмы $7$ см. Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см². Объём: $V = 54 \cdot 7 = 378$ см³.

Практические задачи

Формулы параллелепипеда часто применяются в быту.

Аквариум. Если известны длина, ширина и высота аквариума в сантиметрах, его объём — это произведение $abc$ в см³. Чтобы перевести в литры, используем $1$ л $= 1000$ см³.

Например, аквариум $50 \times 40 \times 30$ см: $V = 50 \cdot 40 \cdot 30 = 60\,000$ см³ $= 60\,000 : 1000 = 60$ л.

Покраска стен. Чтобы найти площадь стен комнаты (без пола и потолка), считают боковую поверхность параллелепипеда: периметр основания умножают на высоту, то есть $2(a+b) \cdot h$, где $a, b$ — длина и ширина комнаты.

ОРТ-совет

Не путайте формулы объёма и площади поверхности — это самая частая ошибка на экзамене. Объём — это произведение трёх измерений ($V = abc$), а площадь поверхности — сумма шести граней ($S = 2(ab+bc+ac)$), там всегда есть коэффициент $2$.

Для диагонали держите в памяти готовые «пифагоровы тройки в пространстве»: $1,4,8 \to 9$; $2,3,6 \to 7$; $3,4,12 \to 13$; $6,6,7 \to 11$. Если числа в задаче совпадают с одной из этих троек, ответ можно получить без единого умножения в столбик.