Задачи на числа и деньги

Особый вид текстовых задач

В этой теме — задачи о билетах, товарах, деньгах и количествах предметов, где обычно нужны два неизвестных или работа с остатком от деления. В отличие от простых задач «переведи фразу в уравнение», здесь важно правильно связать между собой количество и цену, а ответ всегда должен быть целым числом (штук, сомов, автобусов).

Задачи с двумя неизвестными: билеты и товары по разным ценам

Если в условии два вида предметов с разной ценой, вводим две переменные — количество одного вида $x$ и количество другого $(N-x)$, где $N$ — общее число предметов. Тогда стоимость всех предметов — одно уравнение.

Пример. На стадион продали $200$ билетов: взрослые по $150$ сомов и детские по $80$ сомов. Выручка составила $25100$ сомов. Сколько взрослых билетов продано?

Пусть взрослых билетов $x$, тогда детских — $200-x$. Составим уравнение по выручке:

$150x + 80(200-x) = 25100$

$150x + 16000 - 80x = 25100 \quad\Rightarrow\quad 70x = 9100 \quad\Rightarrow\quad x = 130$

Взрослых билетов — $130$, детских — $70$. Проверка: $150\cdot130+80\cdot70 = 19500+5600=25100$. Верно.

Задачи «не хватает / останется»

Частый тип на ОРТ: при покупке одного количества предметов денег не хватает, а при покупке меньшего количества деньги остаются. Ключевая идея: разница между «не хватило» и «осталось» — это разница в стоимости между двумя вариантами покупки.

Пример. Если Уулан купит $6$ одинаковых тетрадей, ему не хватит $30$ сомов. Если купит $4$ тетради, останется $90$ сомов. Сколько сомов у Уулана?

Пусть цена тетради $p$, а денег у Уулана $M$. Тогда:

$6p - M = 30, \qquad M - 4p = 90$

Сложим уравнения — $M$ сократится:

$6p - M + M - 4p = 30 + 90 \quad\Rightarrow\quad 2p = 120 \quad\Rightarrow\quad p = 60$

Тогда $M = 4\cdot 60 + 90 = 330$ сомов. Проверка: $6\cdot 60 - 330 = 30$ (не хватает), $330 - 4\cdot 60 = 90$ (остаётся) — всё сходится.

Деление с остатком: округление вверх

Когда людей или вещи распределяют по группам фиксированного размера (автобусы, коробки, упаковки), результат деления часто получается нецелым — и тогда общее число групп всегда округляют вверх, даже если остаток совсем маленький, ведь для оставшихся всё равно нужна ещё одна группа.

Пример. В лагерь едут $275$ детей, автобус вмещает $45$ человек. Сколько автобусов нужно?

$275 : 45 = 6{,}11\ldots$

Шести автобусов не хватит — они увезут только $6\cdot 45=270$ детей, а $5$ детей останутся. Значит, нужно $7$ автобусов.

Чётность и делимость в сюжетах

Иногда число объектов не дано явно, а описано через свойства делимости и диапазон значений. Тогда нужно перебрать общие кратные и применить условия по очереди.

Пример. Число орехов делится и на $6$, и на $9$ без остатка. Известно, что орехов больше $40$, но меньше $80$, а при делении на $7$ остаток равен $5$. Сколько орехов?

Число, делящееся и на $6$, и на $9$, делится на $\text{НОК}(6,9)=18$. Кратные $18$ между $40$ и $80$: это $54$ и $72$. Проверим остаток от деления на $7$: $54 = 7\cdot 7 + 5$ (остаток $5$, подходит), $72 = 7\cdot 10 + 2$ (остаток $2$, не подходит). Значит, орехов — $54$.

ОРТ-совет

В задачах «не хватает / останется» не составляйте систему с двумя уравнениями заново каждый раз — просто складывайте обе разности ($30+90=120$), это сразу даёт удвоенную цену. В задачах на автобусы/упаковки никогда не округляйте вниз: если остаток не равен нулю, всегда прибавляйте ещё одну группу.