Задачи на движение

Основная формула: $S = vt$

В задачах на движение три величины связаны одной формулой:

$S = vt$

где $S$ — пройденный путь (расстояние), $v$ — скорость, $t$ — время.

Из неё сразу следуют ещё две формулы:

$v = \frac{S}{t}, \qquad t = \frac{S}{v}$

Пример. Расстояние от Бишкека до Оша по автотрассе — $600$ км. Маршрутка едет со скоростью $75$ км/ч. Сколько времени займёт поездка?

$t = \frac{S}{v} = \frac{600}{75} = 8 \text{ часов}$

Движение навстречу друг другу — скорости складываются

Если два объекта выезжают одновременно навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается со скоростью $v_1 + v_2$ (скорость сближения). Время до встречи:

$t = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Пример. Из Бишкека и Оша (расстояние $600$ км) одновременно навстречу друг другу выехали две маршрутки со скоростями $60$ км/ч и $90$ км/ч. Через сколько часов они встретятся?

$t = \frac{600}{60 + 90} = \frac{600}{150} = 4 \text{ часа}$

Движение вдогонку — скорости вычитаются

Если один объект догоняет другой (едут в одну сторону), расстояние между ними сокращается со скоростью $v_1 - v_2$, где $v_1$ — скорость того, кто догоняет. Важно сначала найти отрыв (расстояние между ними в момент, когда начинается погоня).

Пример. В 7:00 из Бишкека выехал грузовик со скоростью $45$ км/ч. В 8:00 вслед за ним по той же дороге выехала легковая машина со скоростью $90$ км/ч. Через сколько часов после своего выезда она догонит грузовик?

К 8:00 грузовик успел проехать $45 \cdot 1 = 45$ км — это отрыв. Скорость сближения: $90 - 45 = 45$ км/ч. Время погони:

$t = \frac{45}{45} = 1 \text{ час}$

Движение по реке: по течению и против течения

У реки есть собственное течение со скоростью $v_{\text{теч}}$, которое либо помогает лодке (катеру), либо мешает:

$v_{\text{по течению}} = v_{\text{собств}} + v_{\text{теч}}, \qquad v_{\text{против течения}} = v_{\text{собств}} - v_{\text{теч}}$

Пример. Собственная скорость катера — $15$ км/ч, скорость течения реки — $5$ км/ч. За сколько часов катер пройдёт $80$ км по течению?

Скорость по течению: $15 + 5 = 20$ км/ч. Время: $t = \dfrac{80}{20} = 4$ часа.

Средняя скорость — не то, что вы думаете!

Здесь скрыта главная ловушка ОРТ. Средняя скорость на всём пути считается не как $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$, а по формуле:

$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{весь путь}}}{t_{\text{всё время}}}$

Это работает всегда. Но есть частый случай — путь пройден по частям одинаковой длины с разными скоростями $v_1$ и $v_2$. Тогда:

$v_{\text{ср}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Это гармоническое среднее, и оно меньше обычного среднего арифметического $\dfrac{v_1+v_2}{2}$.

Пример. Первую половину пути ($120$ км) машина ехала со скоростью $60$ км/ч, вторую половину ($120$ км) — со скоростью $40$ км/ч.

Время на первую половину: $\dfrac{120}{60} = 2$ ч. Время на вторую половину: $\dfrac{120}{40} = 3$ ч. Всего: путь $240$ км за $5$ ч.

$v_{\text{ср}} = \frac{240}{5} = 48 \text{ км/ч}$

Проверка по формуле гармонического среднего: $\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60+40} = \dfrac{4800}{100} = 48$ км/ч — совпало.

А наивный ответ $\dfrac{60+40}{2} = 50$ км/ч — неверный! Ошибка в том, что машина провела на медленной скорости больше времени (3 ч против 2 ч), поэтому средняя скорость смещается ближе к меньшему значению, а не к середине.

Гармоническое среднее применяется, только когда равны расстояния на каждом участке. Если равны времена движения на разных скоростях, тогда среднее арифметическое $\dfrac{v_1+v_2}{2}$ действительно верно — но в текстовых задачах ОРТ почти всегда речь о равных участках пути (например, «туда и обратно» или «первая и вторая половина дороги»).

ОРТ-совет

На экзамене, увидев слова «средняя скорость» вместе с «половина пути» или «туда и обратно», сразу забудьте про $\dfrac{v_1+v_2}{2}$ — это ловушка, которую составители закладывают специально. Считайте отдельно время на каждом участке и делите общий путь на общее время. И всегда проверяйте: гармоническое среднее $\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ должно быть меньше среднего арифметического — если у вас получилось наоборот, ищите ошибку.