Тригонометрические тождества

Основное тригонометрическое тождество

Для любого угла $\alpha$ выполняется равенство:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Это основное тригонометрическое тождество. Оно верно всегда, независимо от того, в какой четверти находится угол.

Из него сразу следуют два полезных следствия:

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Пример. Если $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, то $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, значит $|\cos\alpha| = \dfrac{4}{5}$. Знак перед $\cos\alpha$ зависит от четверти (см. ниже).

Тангенс через синус и косинус

По определению:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad (\cos\alpha \ne 0)$

Это тождество позволяет находить тангенс, если известны синус и косинус, и наоборот.

Пример. Если $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$ и $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$, то $\tan\alpha = \dfrac{5/13}{12/13} = \dfrac{5}{12}$.

Упрощение выражений

Основное тождество удобно использовать «в обе стороны»: заменять $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ на $1$, а $1$ — на сумму квадратов.

Пример 1. Упростим $1 - \sin^2\alpha$. По следствию из основного тождества:

$1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$

Пример 2. Упростим $\dfrac{\sin^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha}$. Заметим, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, поэтому

$\frac{\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1 \quad (\sin\alpha \ne 0)$

Такие замены — самый частый приём упрощения тригонометрических выражений на ОРТ.

Знаки функций по четвертям

Значение угла определяет четверть, а четверть — знаки $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\tan\alpha$:

| Четверть | Угол | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | |---|---|---|---|---| | I | $0^\circ$–$90^\circ$ | $+$ | $+$ | $+$ | | II | $90^\circ$–$180^\circ$ | $+$ | $-$ | $-$ | | III | $180^\circ$–$270^\circ$ | $-$ | $-$ | $+$ | | IV | $270^\circ$–$360^\circ$ | $-$ | $+$ | $-$ |

Запомнить легко: тангенс — это отношение $\sin\alpha$ к $\cos\alpha$, поэтому его знак — знак произведения знаков синуса и косинуса.

Пример. Угол $\alpha = 200^\circ$ лежит в третьей четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$). Значит, $\sin 200^\circ < 0$, $\cos 200^\circ < 0$, а $\tan 200^\circ > 0$ (минус на минус даёт плюс).

Вычисление всех функций по одной известной

Зная одну функцию угла и четверть, в которой он лежит, можно найти обе оставшиеся.

Пример. Пусть $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$ и угол $\alpha$ лежит в третьей четверти ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$).

1. Из основного тождества: $\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, значит $|\sin\alpha| = \dfrac{4}{5}$.
2. В третьей четверти синус отрицателен, поэтому $\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}$.
3. Тангенс: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-4/5}{-3/5} = \dfrac{4}{3}$.

Формулы приведения (простейшие)

Простейшая и самая полезная формула приведения связывает синус и косинус дополнительных углов (угол и его дополнение до $90^\circ$):

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

Пример. Зная табличное значение $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, можно сразу получить

$\sin 60^\circ = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ОРТ-совет

Если в задаче дана только одна функция и диапазон угла, первым делом определите знак второй функции по четверти — это исключает половину неверных ответов ещё до вычислений. И всегда проверяйте выражение на возможность заменить $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ на $1$ (или наоборот) — почти каждое задание на упрощение решается именно так, без громоздких преобразований.