Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшее тригонометрическое уравнение — это уравнение вида $\sin x = a$, $\cos x = a$ или $\tan x = a$, где $a$ — данное число. На ОРТ такие уравнения почти всегда решаются с помощью табличных углов, поэтому таблицу значений синуса, косинуса и тангенса для углов $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ нужно знать наизусть. Все углы ниже — в градусах, как принято в школьном курсе.

Ключевой приём — правило знаков по четвертям: в I четверти ($0°$–$90°$) все функции положительны, во II ($90°$–$180°$) положителен только синус, в III ($180°$–$270°$) — только тангенс, в IV ($270°$–$360°$) — только косинус.

Уравнение $\sin x = a$

Если $|a| \le 1$, находим опорный (табличный) угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = |a|$. Дальше учитываем знак $a$:

• если $a > 0$ — корни лежат в I и II четвертях: $x = \alpha$ и $x = 180° - \alpha$ (плюс период $360°n$);
• если $a < 0$ — корни лежат в III и IV четвертях: $x = 180° + \alpha$ и $x = 360° - \alpha$.

Пример. Решить $\sin x = \dfrac{1}{2}$ на отрезке $[0°; 360°]$. Опорный угол: $\alpha = 30°$. Так как $a > 0$, корни — $x = 30°$ и $x = 180° - 30° = 150°$. Всего 2 корня.

Уравнение $\cos x = a$

Опорный угол $\alpha$: $\cos \alpha = |a|$.

• если $a > 0$ — корни в I и IV четвертях: $x = \alpha$ и $x = 360° - \alpha$;
• если $a < 0$ — корни во II и III четвертях: $x = 180° - \alpha$ и $x = 180° + \alpha$.

Пример. Решить $\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ на $[0°; 360°]$. Опорный угол $\alpha = 45°$, $a < 0$, значит корни — $x = 180° - 45° = 135°$ и $x = 180° + 45° = 225°$. Всего 2 корня.

Уравнение $\tan x = a$

Тангенс имеет период $180°$, поэтому на отрезке $[0°; 360°]$ обычно получается ровно два корня (кроме точек $90°$ и $270°$, где тангенс не определён). Опорный угол $\alpha$: $\tan \alpha = |a|$.

• если $a > 0$ — корни в I и III четвертях: $x = \alpha$ и $x = 180° + \alpha$;
• если $a < 0$ — корни во II и IV четвертях: $x = 180° - \alpha$ и $x = 360° - \alpha$.

Пример. Решить $\tan x = \sqrt3$ на $[0°; 360°]$. Опорный угол $\alpha = 60°$, $a>0$, корни: $x = 60°$ и $x = 180° + 60° = 240°$.

Частные случаи

Эти уравнения не требуют опорного угла — ответ сразу виден по единичной окружности:

• $\sin x = 0$: $x = 0°, 180°, 360°$ на $[0°;360°]$ (3 корня, так как отрезок замкнутый, концы входят);
• $\sin x = 1$: только $x = 90°$;
• $\sin x = -1$: только $x = 270°$;
• $\cos x = 0$: $x = 90°, 270°$ (2 корня);
• $\cos x = 1$: $x = 0°, 360°$ (2 корня, оба конца отрезка);
• $\cos x = -1$: только $x = 180°$.

ОРТ-совет здесь особенно важен: не забывайте про концы отрезка $[0°; 360°]$ — если они являются корнями, их нужно включать в ответ и в подсчёт числа корней.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Если в уравнении встречается $\sin^2 x$ или $\cos^2 x$, часто можно вынести общий множитель или сделать замену $t = \sin x$ (или $t = \cos x$) и получить обычное квадратное уравнение.

Пример. Решить $2\sin^2 x - \sin x = 0$ на $[0°; 360°]$.

Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (2\sin x - 1) = 0$. Уравнение распадается на два простейших:

$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}$

Первое даёт $x = 0°, 180°, 360°$, второе — $x = 30°, 150°$. Все корни различны, поэтому всего 5 корней: $0°, 30°, 150°, 180°, 360°$.

Если квадратное уравнение не раскладывается на множители сразу, решаем его как обычное квадратное относительно $t$ через дискриминант, а затем каждое найденное значение $t$ подставляем в простейшее уравнение $\sin x = t$ или $\cos x = t$, не забывая проверить, что $|t| \le 1$ (иначе корней нет).

ОРТ-совет

На экзамене не тратьте время на общую формулу с $(-1)^n$ и $\pm$ — на отрезке $[0°; 360°]$ быстрее работает правило четвертей: найдите опорный угол по таблице, определите знак $a$ и сразу выпишите оба (или всех) кандидатов. Перед ответом обязательно проверяйте подстановкой хотя бы один корень — это страхует от ошибки в четверти.