Квадратные уравнения

Общий вид квадратного уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0,$

где $a$, $b$, $c$ — заданные числа (коэффициенты). Условие $a \neq 0$ обязательно: если $a = 0$, уравнение становится линейным.

Например, в уравнении $2x^2 - 5x + 3 = 0$ коэффициенты $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$.

Дискриминант и число корней

Чтобы узнать, сколько у уравнения корней, вычисляют дискриминант:

$D = b^2 - 4ac$

• Если $D > 0$ — уравнение имеет два различных корня.
• Если $D = 0$ — уравнение имеет один корень (говорят также «два равных корня»).
• Если $D < 0$ — уравнение не имеет действительных корней.

Пример. Для $x^2 - 5x + 6 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ — два корня.

Формула корней

Если $D \geq 0$, корни находят по формуле:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Пример. Решим $2x^2 + 3x - 2 = 0$: здесь $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25, \qquad \sqrt{D} = 5$

$x = \frac{-3 \pm 5}{4} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2$

Неполные квадратные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$, уравнение называют неполным — его решают проще, без общей формулы.

Вид $ax^2 + bx = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(ax+b) = 0$. Тогда $x = 0$ или $x = -\dfrac{b}{a}$.

Пример: $3x^2 - 12x = 0 \;\Rightarrow\; 3x(x-4)=0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0, \; x_2 = 4$.

Вид $ax^2 + c = 0$. Выражаем $x^2 = -\dfrac{c}{a}$. Если правая часть неотрицательна, $x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$; если отрицательна — корней нет.

Пример: $2x^2 - 18 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = \pm 3$.

Теорема Виета

Для уравнения $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ верны формулы:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для приведённого уравнения ($a=1$), то есть $x^2 + px + q = 0$, формулы упрощаются:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q$

Пример. Для $x^2 - 7x + 12 = 0$: сумма корней $= 7$, произведение $= 12$. Подбором находим числа, сумма которых $7$, а произведение $12$ — это $3$ и $4$. Проверка: $3+4=7$, $3\cdot4=12$. Значит, $x_1=3$, $x_2=4$.

Теорема Виета часто используется в обратную сторону: не решая уравнение, можно быстро найти сумму или произведение его корней — этого часто требуют на ОРТ.

Разложение на множители

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, то квадратный трёхчлен раскладывается так:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Пример. Для $2x^2 - 7x + 3$: $D = 49 - 24 = 25$, корни $x_1 = 3$, $x_2 = \dfrac{1}{2}$.

$2x^2 - 7x + 3 = 2\left(x-3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) = (x-3)(2x-1)$

ОРТ-совет

Если в задаче нужно только сумму или произведение корней (а не сами корни) — не решайте уравнение через дискриминант, сразу используйте теорему Виета: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Это экономит время. А для приведённых уравнений с целыми коэффициентами сначала попробуйте подобрать корни устно по теореме Виета (два числа с нужной суммой и произведением) — это быстрее, чем считать дискриминант.