Линейные уравнения

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax + b = 0$ (или сводимое к такому виду), где $a$ и $b$ — числа, а $x$ — неизвестное. Решить уравнение — значит найти все значения $x$, при которых равенство верно.

Правила преобразования уравнений

При решении уравнения можно выполнять два основных действия, не нарушая равенства:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую — при этом знак слагаемого меняется на противоположный.
2. Умножение (или деление) обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Пример. Решим $\dfrac{x}{5} + 3 = 8$.

Перенесём $3$ вправо со сменой знака: $\dfrac{x}{5} = 8 - 3 = 5$. Умножим обе части на $5$: $x = 25$.

Уравнения вида $ax + b = cx + d$

Если переменная встречается в обеих частях, слагаемые с $x$ переносят в одну сторону, а числа — в другую.

Пример. Решим $5x - 7 = 2x + 8$.

Перенесём $2x$ влево, а $-7$ — вправо: $5x - 2x = 8 + 7$ $3x = 15 \implies x = 5$

Уравнения со скобками

Сначала раскрываем скобки (умножаем множитель на каждое слагаемое внутри), затем действуем как обычно.

Пример. Решим $3(x+2) - 5 = 2(x+4)$.

Раскрываем скобки: $3x + 6 - 5 = 2x + 8$, то есть $3x + 1 = 2x + 8$. Переносим: $3x - 2x = 8 - 1 \implies x = 7$.

Уравнения с дробными коэффициентами

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей.

Пример. Решим $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$.

Общий знаменатель — $6$. Умножаем обе части на $6$: $3x + 2x = 30 \implies 5x = 30 \implies x = 6$

Особые случаи: нет корней и бесконечно много корней

После переноса всех слагаемых с $x$ в одну часть может получиться уравнение вида $0 \cdot x = k$.

• Если $k \ne 0$ (например, $0 \cdot x = 5$) — равенство невозможно ни при каком $x$, значит корней нет.
• Если $k = 0$ (то есть $0 \cdot x = 0$) — равенство верно при любом $x$, значит корней бесконечно много.

Пример. Решим $4(x+1) = 4x + 9$.

Раскрываем скобки: $4x + 4 = 4x + 9$. Переносим: $4x - 4x = 9 - 4 \implies 0 = 5$ — неверно ни при каком $x$. Корней нет.

Пример. Решим $5(x-2) = 5x - 10$.

Раскрываем скобки: $5x - 10 = 5x - 10$ — верно при любом $x$. Корней бесконечно много.

Простейшие уравнения с параметром

В уравнении вида $ax = b$ число корней зависит от параметра $a$:

• если $a \ne 0$ — единственный корень $x = \dfrac{b}{a}$;
• если $a = 0$ и $b \ne 0$ — корней нет;
• если $a = 0$ и $b = 0$ — корней бесконечно много.

Пример. При каком $a$ уравнение $(a-3)x = 0$ имеет бесконечно много корней? При $a = 3$ уравнение превращается в $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$.

ОРТ-совет

На экзамене, получив $0 = k$, сразу проверяйте: $k \ne 0$ — корней нет, $k = 0$ — корней бесконечно много. Не тратьте время на дальнейшие преобразования — ответ уже готов. Также не забывайте менять знак при переносе слагаемого — это самая частая ошибка на таких заданиях.