Жөнөкөй бөлчөктөр

Жөнөкөй бөлчөк деген эмне

Жөнөкөй бөлчөк — бул $\frac{a}{b}$ түрүндөгү жазуу, мында $a$ — алым (канча бөлүк алынды), ал эми $b$ — бөлүм (бүтүн нерсе канча барабар бөлүккө бөлүндү). Бөлүм нөлгө барабар боло албайт.

Бөлчөк сызыгы бөлүүнү билдирет: $\frac{a}{b} = a : b$. Мисалы, $\frac{3}{4}$ — бул токочтун төрттөн үчү же $3 : 4$ бөлүүнүн жыйынтыгы.

Эгерде алымы бөлүмүнөн кичине болсо, бөлчөк туура бөлчөк деп аталат ($\frac{3}{7}$), ал эми алымы бөлүмүнөн чоң же ага барабар болсо — туура эмес бөлчөк деп аталат ($\frac{9}{4}$, $\frac{5}{5}$). Туура бөлчөк ар дайым бирден кичине, туура эмес бөлчөк — бирден чоң же ага барабар.

Бөлчөктүн негизги касиети жана кыскартуу

Эгерде алымды жана бөлүмдү бир эле санга көбөйтсөк же бөлсөк, бөлчөк өзгөрбөйт:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$

Бөлчөктү кыскартуу — бул алымды жана бөлүмдү алардын жалпы бөлүүчүсүнө бөлүү. Эң тез жолу — түз эле ЭЧЖБга бөлүү.

Мисал. $\frac{36}{48}$: ЭЧЖБ$(36, 48) = 12$, ошондуктан $\frac{36}{48} = \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$.

Жалпы бөлүмгө келтирүү

Бөлчөктөрдү кошуу, кемитүү жана салыштыруу үчүн аларды жалпы бөлүмгө келтиришет — адатта бөлүмдөрүнүн ЭКЖЭсине.

Мисал. $\frac{5}{6}$ жана $\frac{3}{8}$ үчүн: ЭКЖЭ$(6, 8) = 24$, демек

$\frac{5}{6} = \frac{20}{24}, \qquad \frac{3}{8} = \frac{9}{24}$

Бөлчөктөрдү салыштыруу

• Бөлүмдөрү бирдей болсо, алымы чоң бөлчөк чоң болот.
• Алымдары бирдей болсо, бөлүмү кичине бөлчөк чоң болот: $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$.
• Жалпы учурда айкаш көбөйтүүнү колдонгула: $\frac{a}{b}$ менен $\frac{c}{d}$ бөлчөктөрүн салыштырууда $a \cdot d$ жана $c \cdot b$ көбөйтүндүлөрүн салыштыргыла.

Мисал. $\frac{5}{7}$ жана $\frac{7}{9}$: $5 \cdot 9 = 45$ менен $7 \cdot 7 = 49$ сандарын салыштырабыз. $45 < 49$ болгондуктан, $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.

Кошуу жана кемитүү

Бөлчөктөрдү жалпы бөлүмгө келтиребиз, андан кийин алымдарын кошобуз же кемитебиз:

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$

Аралаш сандарды бөлүктөп кошкон ыңгайлуу: бүтүн бөлүктөрүн өзүнчө, бөлчөк бөлүктөрүн өзүнчө. Мисалы, $2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{5} = 5\frac{3}{5}$.

Кеңири таралган ката — алымдарды жана бөлүмдөрдү өз-өзүнчө кошуу: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \neq \frac{3}{7}$. Мындай кылууга болбойт.

Көбөйтүү жана бөлүү

Көбөйтүү — эң жөнөкөй амал: алымды алымга, бөлүмдү бөлүмгө көбөйтөбүз. Көбөйтүүдөн мурун «айкаш» кыскарткыла:

$\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8} = \frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

Бөлүү — оодарылган (тескери) бөлчөккө көбөйтүү:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Мисал. $\frac{3}{5} : \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.

Аралаш сандар

Аралаш сан — бул бүтүн бөлүк менен туура бөлчөктүн суммасы: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$.

Туура эмес бөлчөктөн аралаш санга өтүү: алымды бөлүмгө калдык менен бөлөбүз. Тийинди — бүтүн бөлүк, калдык — жаңы алым.

$\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}, \quad \text{анткени } 23 = 6 \cdot 3 + 5$

Аралаш сандан туура эмес бөлчөккө өтүү: бүтүн бөлүктү бөлүмгө көбөйтүп, алымды кошобуз.

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Көбөйтүүдө жана бөлүүдө аралаш сандарды сөзсүз туура эмес бөлчөккө айландырышат:

$2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{7} = \frac{7}{3} \cdot \frac{8}{7} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда убакыт баарынан кымбат, ошондуктан:

• Көбөйтүүдөн мурун кыскарткыла, кийин эмес. $\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8}$ бөлчөгүн дароо айкаш кыскартуу $\frac{60}{72}$ менен убара болгондон алда канча жеңил.
• Бөлчөктөрдү айкаш көбөйтүү менен салыштыргыла — бул жалпы бөлүм издегенден тезирээк.
• $\frac{1}{2}$ же $1$ «эталону» менен салыштыргыла. Мисалы, $\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$, ал эми $\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$ — кайсынысы чоң экени эч кандай эсепсиз эле көрүнүп турат.